0 引言

飞机燃油系统属于飞机动力装置系统部分。燃油系统有许多分系统,如供输油分系统、通气分系统、增压分系统、油箱分系统等。然而,最主要也是最值得深入研究的乃是供输油分系统。供输油分系统设计涉及诸多方面的问题,该系统成功设计可使飞机重心变化平稳、系统效能高、工作可靠、重量更轻等。

1 供输油方式改变

过去,供油主要有两条途径:重力供油,电动燃油泵供油。输油主要有三条途径:油箱增压输油,要求油箱有足够的强度,如副油箱旋转体等;电动燃油泵输油;引射泵输油。本文提出飞机供输油系统在飞机整个飞行过程中不采用电动燃油泵,供输油系统完全由液压传动供输油方式取代。新型的飞机供输油方法是:供油系统的涡流泵出口燃油一部分供发动机燃烧,另一部分供给发动机驱动的增压泵。增压泵出口的高压油则驱动供油系统的涡流泵以及输油系统的一系列涡流泵、引射泵,见图1。由图1可知,这种供输油方法的问题是燃油在管道内流动时相互交联。如何解决管道内流体交联解耦,寻找不同位置处涡流泵入口前的压力,这两个问题一直困扰着业内科技工作者。

2 数学模型

2.1 引射泵的数学模型

对于已设计好造型的引射泵,引射泵的引射系数u就确定了,其关系式如下:

$\begin{array}{c}{Q}_{\mathrm{B}}=Q/u\\ Q_{\mathrm{C}}=Q+Q_{\mathrm{B}}\\ P_{\mathrm{C}}=K{Q}_{\mathrm{C}}^2\\ P_{\mathrm{C}}/P_{\mathrm{B}}=\left(f_1/f_2\right)\left[1.75+0.7\left(f_1/\left(f_2-f_1\right)\right)u^2-\right.\\ \left.1.07f_1/f_2(1+u{)}^2\right]\end{array}$

即

式中:Q_B为引射泵入口流量,Q_C为引射泵出口流量,u为引射系数,

P _B为引射泵入口压力,P _C为引射泵出口压力,Q为引射流量,

f ₁为工作喷嘴的出口截面积,f ₂为混合室截面积,K为流量模数。

2.2 增压泵的数学模型

增压泵由发动机驱动。某种增压泵出口的压力P与流量Q的关系如图2所示,其出口压力随发动机的转速N升高而升高。在图2的曲线簇中,只是对发动机在加力、最大、额定、0.8额定及慢车转速下所形成的曲线进行分析。通过最小二乘法,可将图2中的这5条特殊曲线拟合成函数关系。由于曲线较为平滑,考虑采用多项式拟合,阶次取到五阶。在发动机5种转速下,可得到关系式为:

2.3 涡流泵的数学模型

涡流泵由增压泵出口压力驱动。来自增压泵高压燃油驱动涡流泵的高压腔涡轮旋转,同时其低压腔叶片(涡轮与叶片共轴)也随之旋转,将燃油打出油箱。可见,涡流泵的效率比引射泵更高,流量也更大。某种涡流泵压力P与流量Q的曲线关系如图3所示。由于该曲线比较复杂,所以采用七阶多项式拟合。通过最小二乘法将右边所示曲线拟合成函数关系式如下:

2.4 管路

管路以节点为分界,两节点之间为一段管路。一般管道内的流体流动用伯努利方程描述,即为:

在一般情况下,管道截面积相等, V₁=V₂,所以

式中:P₁为节点1处压力,

P₂为节点2处压力,

K为流量模数,

Q为管内流量,

Z₁、Z₂为节点位置高度,h_w为阻力损失,γ为重度。

为方便求解,将变量P、Q统一用x表示,于是可得

其中k=1,2,...m

式中,x_k为所求的未知数,m为方程个数。

3 数值求解及实例分析

对于第3章建立的各种数学模型,首先要梳理方程组变量前的系数,尽可能使方程组形成的雅可比矩阵主对角线元素占优。

对方程组(6),采用牛顿法进行数值迭代,可得到牛顿迭代式为:

式中,n=0,1,2,……,$\mathit{}\mathit{D}\mathit{f}\left({\mathit{X}}_n\right)$表示矩阵

$\mathit{D}\mathit{f}\left(\mathit{X}\right)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_2}& \frac{\partial f_1\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_m}\\ \frac{\partial f_2\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_2}& \frac{\partial f_2\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_m}\\ \frac{\partial f_m\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_2}& \frac{\partial f_m\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_m}\end{array}\right]$

的所有元素$\frac{\partial f_{\mathrm{k}}\left(\mathit{X}\right)}{\partial x_{\mathrm{k}}}(k=\mathrm{1,2},\cdots m)$在X=X _n处取值后所形成的矩阵。

式中:m为未知数的个数;n为迭代次数,黑体f、X是向量。

在求解方程组(6)时,增压泵的方程式(2)应根据发动机的5种状态,通过界面人机对话输入其系数a_i、b_i、c_i、d_i、e_i、f_i的值。不同的系数反映在不同的发动机状态下所计算的结果。

然而,涡流泵的方程式(3)参与方程组(6)求解就比较复杂。由于系统内涡流泵较多,其所处的位置各不相同,管路流阻也不同,所以要求对每个涡流泵都分别拟合12个方程式。至于其中哪个方程式能参与方程组(6)求解,这取决于涡流泵所处的位置,也取决于涡流泵之前的入口压力。该压力寻找由一个子程序完成。

在具体实例的实践中,曾对某歼击机供输油系统(88阶非线性方程组)进行过分析计算。主要考虑满足下述4点:

(1)根据本系统各种参数的数值范围,合理给出初值。

(2)在编写程序时,遇到雅可比矩阵内的元素(有很多都是函数式)不能求逆问题。解决办法是通过数字化,将函数式变成具体数值。于是解决了矩阵内元素求逆问题。

(3)根据数学理论,引入松驰因子,将方程组(6)所有的根都包含在收敛域内。引入松弛因子能够放宽初值近似要求及改善矩阵$\mathit{D}\mathit{f}\left({\mathit{X}}_n\right)$可能出现的病态性。引入松弛因子w_n后,此时方程式(7)变为

对于松弛因子w_n的选择,要求在欧式空间Rⁿ中某范数意义下满足

其中,n=0,1,2……

这也是为了保证$\mathit{f}\left({\mathit{X}}_n\right)$在Rⁿ的某范数意义下具有下降性质。这种下降性质可以促使某${\mathit{X}}_n$开始进入牛顿法要求的收敛区域。

而w_n取(e,2-e)(其中 e>0为任意小数)。迭代过程中,为了加快收敛速度,每次迭代都让松驰因子变大,直至让w_n→1。

在实践中也采取过其它方法,改善矩阵$\mathit{D}\mathit{f}\left({\mathit{X}}_n\right)$可能出现的病态性。这就是采用阻尼因子μ_n,使矩阵$\mathit{D}\mathit{f}\left({\mathit{X}}_n\right)$变为${\left[\mathit{D}\mathit{f}\left({\mathit{X}}_n\right)+{\mu }_n\mathit{I}\right]}^{}$,其中I为单位矩阵。此时方程式(7)变为

阻尼因子μ_n的选择,同样按式(9)确定。

具体实践是让μ_n足够大,使重构的矩阵变成严格主对角线元素占优阵,其目的是为了让所有方程的根包含在收敛域内。当μ_n很大时,迭代程序式(10)的收敛速度变慢;然后逐步减少μ_n,当μ_n→0时,迭代程序式(10)趋于牛顿法,此时收敛速度最快。

(4)根据系统运算精度要求,设定运算结束信号,也即两次运算结果之差值D _V,实例设定D _V=10^-8。程序运行体会是:只要程序是收敛的,D _V可以更小。

4 结论

本研究以某歼击机燃油系统为模型,对该系统进行了深入分析研究。经燃油系统地面模拟试验证明,系统效能高、工作可靠、重量更轻等,系统内每个节点的压力及每条管路的流量都与试验数据相吻合,研究获得成功。

此外由于燃油系统取消了电动燃油泵,所以该系统减少了飞机电气系统供电量约27%。

参考文献